Aplicaciones de la optimización en el sector salud, programación lineal entera: método de la mochila – Knapsack problem KP

Algunos aspectos de la historia:

La optimización es una de las ramas de la matemática que estudia las diferentes técnicas para la selección óptima de uno o más elementos de un conjunto dado. Así, desde la generalidad, la optimización hace referencia a la obtención de los mejores valores de alguna función objetivo dado un dominio definido, donde dichos valores encontrados buscan maximizar o minimizar la función objetivo bajo ciertas condiciones y restricciones dadas.

 

Las primeras aplicaciones de la programación lineal y como muchas otras de la matemática y las ciencias exactas se dan en la guerra. Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, George Dantzig físico y matemático estadounidense, reconocido por desarrollar el método simplex y ser considerado como el padre de la programación lineal, interrumpió sus estudios en Berkeley para unirse a la Fuerza Aérea de los Estados Unidos como jefe de la rama de análisis de combate de los cuarteles centrales estadísticos.[1]

 

aplicaciones en el sector salud

George Dantzing. Tomado de: https://es.quora.com

 

 

Optimización Matemática en áreas de la salud

El campo de la salud es un nodo importante de estudio para la aplicación de modelos matemáticos, dadas las condiciones que se presentan en esta área de estudio y las instituciones donde se operan estos servicios, con frecuencia se enfrentan a limitaciones.

 

Según el estudio realizado en 2010 sobre las tendencias de la aplicación de la optimización, algunas de las aplicaciones más relevantes podrían presentarse en las siguientes áreas[2].

– Planeación de servicios y contingencias de vida de los pacientes.

– Programación de personal de enfermería.

– Programación de salas de cirugía y consultorios.

– Distribución de bancos de sangre y puestos de vacunación.

– Programación de ambulancias.

– Redes de distribución de medicamentos

 

Optimización a través de la programación lineal entera

Los modelos de programación entera son una extensión de los modelos lineales, en los que algunas de sus variables de decisión se expresan en forma entera (discreta). Este tipo de modelos permite representar modelos con mayor grado de robustés en la cantidad de restricciones y complejidad de las mismas.  En cambio, la solución de este tipo de problemas crece en complejidad.

 

Método de la mochila – Knapsack problem KP

El KP busca la mejor asignación y combinación de recursos limitados, dado un beneficio para cada uno de los recursos. Este modelo se basa en la siguiente premisa: Dado un conjunto de n productos diferentes, donde cada uno de ellos tiene una asignación/beneficio/peso c_{j} y un volumen a_{j}. Se desea asignar el conjunto de productos en la mochila de capacidad b que genere el máximo beneficio[3][4].

 

aplicaciones en el sector salud

Método de la mochila – knapsack problema. Tomado de: https://www.researchgate.net

 

Así, un modelo Knapsack se puede concebir de manera genérica como:

funciones

 

Caso de Aplicación: programación de consultorios de atención ambulatoria

 

Dados los problemas de servicio hacia el usuario, así como deficiencias en los métodos de programación de consultorios, se identificó este caso como potencial para aplicaciones de la optimización. Desde el Semillero de Modelos Matemáticos del profesor German Combariza hemos logrado poner en discusión y análisis el caso, logrando plantear y modelar como Knapsack cada consultorio. Una primera aproximación de solución bajo ciertas restricciones en un alto nivel se puede resumir a continuación:

 

Parámetros requeridos por el modelo

– H_{i} : Hora inicio del centro de servicio.

– H_{f} : Hora fin del centro de servicio.

– n_{i} : Bloques hora de la especialidad_{i}.

– w_{i} : Número de profesionales de la especialidad_{i}.

– b_{i} : Beneficio de la especialidad_{i}.

– c_{jk} : Capacidad instalada del consultorio j en el espacio_{s}

– t_{ik} :  Parámetro binario:

 

 Variables de decisión

  • x_{ijk} = 1 si la cantidad w de profesionales de la especialidad i en el consultorio j en la franja s es asignado.
  • 0 (cero) En caso contrario.

 

    Función Objetivo

funcion

 

Proyección y mejora del modelo

  • Programación del modelo y diseño de la interfaz de usuario en lenguaje Python, con el objetivo de generar una herramienta de código abierto y poder ser publicado en un repositorio abierto a la comunidad. Evolución del modelo, incluyendo restricciones de tipo de consultorio.
  • Incluir componente gráfico que permita un mayor entendimiento del problema y los resultados obtenidos.

 

 

Jorge Andrés Sanabria Forero
Estudiante Facultad de Matemáticas e Ingenierías

 

 

Referencias

[1] TAHA HAMDY, A. (2004). Investigación de Operaciones. Mexico: Pearson.

[2] RAIS, A., VIANA, A. (2010). Operations Research in Healthcare: a survey. INTERNATIONAL TRANSACTIONS IN OPERATIONAL RESEARCH, volumen (18), 1-31.

[3] RENDON, R., OCAMPO, L., ZULUAGA, E. (2015). Técnicas Heurísticas y Metaheurísticas. Colombia: Editorial UTP.

[4] BIERLAIRE, M. (2015). Optimization: Principles and Algorithms. Switzerland: EPFL Press.

Carácter Académico: Institución Universitaria. Personería Jurídica por Resolución 18537 del 4 de noviembre de 1981 del Ministerio de Educación Nacional. Institución de Educación Superior sujeta a inspección y vigilancia por el Ministerio de Educación Nacional (Art. 2.5.3.2.10.2, Decreto 1075 de 2015). Vigilada Mineducación.
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