Breve recorrido por el desarrollo de las geometrías no euclideanas

Publicado: el 14 octubre, 2014 por AdminKonrad / Konrad Lorenz

¿A qué se le denomina geometría no euclidiana? Básicamente a toda geometría en la cual, no se toma algún postulado establecido por Euclides en su libro Los Elementos. Se entiende como postulado una proposición evidente que no es demostrada pero que se acepta como verdadera.

De acuerdo con la definición de geometría no euclideana o no euclidea, debe tenerse en cuenta que existen muchos tipos de estas geometrias, que surgen luego de 23 siglos, en los cuales se intentó demostrar el quinto postulado, o postulado de las paralelas, el cual nos dice que: “Si una línea recta que corta a otras dos líneas rectas produce ángulos internos del mismo lado que sean menores que dos rectos, entonces las dos líneas se encontrarán, si se prolongan del mismo lado de la línea recta, en que dos ángulos son menores que dos rectos.” [1], como se ve en la imagen 1. Teniendo en cuenta que los primeros cuatro postulados satisfacen el ideal griego el cual nos dice, que aquello que se postula debe ser “evidente por si mismo”. Sería extraño, y motivo de dudas, que en el quinto postulado este ideal no fuese evidente.

Este postulado no causaba problemas por tener algún tipo de incoherencia que pusiera en duda su veracidad, sino más bien por la forma en la cual fue escrito, ya que, no es posible tener la seguridad de la existencia de líneas rectas infinitas en un espacio finito, así como no es posible observar que dos rectas consideradas en toda su extensión se corten, debido a que solo se pueden usar segmentos de recta. Además Euclides lo enunció de tal forma, que contiene hipótesis y conclusión, como si fuera un teorema y no resulta tan evidente como los postulados anteriores.

Este inconveniente provoca en los matemáticos la necesidad de sustituir el quinto postulado por uno semejante, o conseguir demostrarlo basándose en los cuatro axiomas restantes. Uno de dichos intentos por sustituirlo, lo realizó el matemático y geólogo escocés John Playfair, quien dijo en 1795: “si un punto P no pertenece a una recta dada r, entonces existe una y solo una recta que pasa por P que es paralela a r”[3], así como se observa en la figura.

Posteriormente Gerolamo Saccheri [4], matemático italiano, intentó establecer la validez del postulado, a través del método de reducción al absurdo, suponiéndolo como falso, con la esperanza de encontrar una contradicción. Para ello utilizó lo que se conoce como el Cuadrilátero de Saccheri (cuadrilátero con dos ángulos rectos y otros dos que podrían o ser, o bien rectos, menores que un ángulo recto, o mayores que un ángulo recto (figura 3) y formuló tres hipótesis: la hipótesis del ángulo recto (donde los cuatro ángulos son rectos), la hipótesis del ángulo agudo (donde dos ángulos son rectos, y dos menores que un ángulo recto) y la hipótesis del ángulo obtuso (donde dos ángulos son rectos, y dos mayores que un ángulo recto); así al ser cierta la primera de estas hipótesis, la Geometría Euclidiana sería la única geometría verdadera, ya que esta garantiza que los segmentos opuestos son paralelos entre sí. Pero no logró probarlo.

A estos intentos por demostrar la validez del postulado de las paralelas se unió Legendre [6], quien quiso probar, basado en un postulado equivalente, que la suma de los ángulos internos de un triangulo no puede ser mayor a dos ángulos rectos. Lamentablemente, dicha demostración empleaba algo equivalente a lo que él deseaba probar, siendo verdadero, para el caso en el que es válido el quinto postulado.

Esto podría dar a pensar que los matemáticos no fueron hábiles para comprobar la validez del postulado, pero no es así, ya que dicha demostración no existe, debido a que el postulado de las paralelas es independiente a los demás axiomas de la geometría;desarrollándose así, una geometría en la cual, no se tienen en cuanta el quinto postulado, y se trabaja con las 28 primeras proposiciones del libro primero de Euclides. Esta geometría se conoce con el nombre de geometría neutra o absoluta, en la cual no se habla de la existencia de una única recta paralela a otra, que pasa por un punto dado, si no que deja abierta dos posibilidades; una donde se tome como verdadero el postulado quinto o Geometría Euclideana, la cual se trabaja sobre un plano de curvatura cero, y donde la suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a dos ángulos rectos, y otras, donde se niega, dejando dos posibilidades, que existan al menos dos paralelas o Geometría Hiperbólica, o que no existan líneas paralelas o Geometría Elíptica.

La Geometría Hiperbólica fue realizada al mismo tiempo, pero de forma separada por Nicolai Lobachevski y Janos Bolyai. El primero hizo un desarrollo más analítico de su geometría, la Geometría Imaginaria, en la cual se enfocó en la construcción de un sistema geométrico nuevo basándose en la negación del postulado de las paralelas; mientras que Bolyai se enfocó en las proposiciones, que en el libro de Los Elementos no dependían del quinto postulado (las 28 primeras proposiciones) y las tomó como verdades. Siendo así, el postulado para la geometría imaginaria o postula Lobachevskiano dice: “Por cada punto del plano pasan dos rectas paralelas a una recta dada y un número infinito de rectas divergentes con ella” [7], esto quiere decir, que existen al menos dos rectas paralelas a una recta, que pasan por un punto dado fuera de ella (figura 4). Denomina recta divergente, a aquellas rectas que no se cortan ni son paralelas.

Además se define lo que se llama ángulo de paralelismo: “Sea R una recta y P un punto que no pertenece a ella. Las dos rectas paralelas a R que pasan por P determinan ángulos iguales con la perpendicular que baja desde P a R[7], el cual es una función que depende de la distancia de P a R”, que también se puede observar en la figura 4. Además la suma de los ángulos internos de un triangulo es menor que dos ángulos rectos.

 

Posterior a ellos, aparece Berndhard Riemman[9] quien al negar el postulado de las paralelas, tomó como válida la no existencia de paralelas, y propuso que el espacio es ilimitado, más que infinito, ya que esta geometría se puede trabajar, por ejemplo sobre la superficie de una esfera, y esta en ningún momento es infinita, además es evidencia empírica del mundo exterior. En su geometría, la geometría elíptica, las rectas tienen longitud ilimitada y no infinita, y la suma de los ángulos internos de un triangulo es mayor que dos ángulos rectos, así como las rectas tienen la misma longitud finita, y dos triángulos semejantes son necesariamente congruentes, entre otras.

Para finalizar, los descubrimientos realizados especialmente por la física durante el siglo XX muestran que las geometrías no euclidianas, son aplicables para la representación, de forma mucho mas sencilla de estructuras y teorías físicas, como se ve en la teoría de la relatividad de Einstein, y en la cinemática relativista, donde se emplea la Geometría hiperbólica, ya que la gravedad causa una cuadratura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor en lo puntos donde la concentración de masa es aumenta, y se percibe un campo gravitatorio que provoca la atracción de los cuerpos.

Referencias

[1] El primer desastre-. El marchitamiento de la verdad. Página. 91.

[2] M.S.I. José Francisco Villalpando Becerra. Apuntes para la materia de geometría no euclidiana. Universidad de Guadalajara. Centro de ciencias Exactas e Ingenierías. Páginas 28-30

[3] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los precursores. Página. 48.

[4] Morris Kline. El primer desastre. El marchitamiento de la verdad. Página. 93.

[5] http://mtma.blogspot.mx/2009/09/3.html

[6] M.S.I. José Francisco Villalpando Becerra. Apuntes para la materia de geometría no euclidiana. Universidad de Guadalajara. Centro de ciencias Exactas e Ingenierías. Páginas 34-38

[7] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los descubridores. Página. 54.

[8] http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_hiperb%C3%B3lica

[9] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los descubridores. Página. 56.

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ALEJANDRA TORRES MANOTAS