El covid-19 y el teorema de Bayes

Imagina que te levantas una mañana y te sientes algo enfermo. No tienes síntomas del Covid-19, pero no te sientes del todo bien. Llamas a la línea de atención de la Secretaria de Salud y te preguntan si has respetado la cuarentena. Supongamos que eres un ciudadano responsable, contestas que sí has respetado el aislamiento completamente. Sin embargo, podemos ver en noticias que hay personas que respetan la cuarentena medianamente y otras, muy irresponsables, que no respetan la cuarentena, ya que ellas creen que nos vendieron un pánico absurdo pues “se muere más gente de otras gripas”. De esta manera, podemos identificar tres grandes grupos de personas, los responsables, los más o menos responsables y los irresponsables.

Si revisamos algunos estudios publicados en redes, podríamos llegar a establecer los porcentajes de esos tres grupos de personas[1]. Basándonos someramente en estos estudios, y solo para fines académicos, vamos a suponer que el 20% de la población es responsable y respeta la cuarentena por completo, el 30% la cumple medianamente y el 50% no cumple con la cuarentena. Por otra parte, supongamos también que de los que cumplen la cuarentena se infecta el 10%, de los que la cumplen medianamente se infecta el 60% y, finalmente, de los que no cumplen la cuarentena se infecta el 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad hay de que un paciente al azar esté contagiado de Covid-19? Para responder este tipo de preguntas podemos acudir al famoso teorema de Bayes.  Para ello, vamos a organizar la información generando un listado de eventos y un sencillo diagrama de árbol:

• P(A): es la probabilidad que el paciente esté infectado
• P(R): es la probabilidad que el paciente sea responsable pues cumple estrictamente con la cuarentena
• P(MR): es la probabilidad que el paciente sea medianamente responsable con la cuarentena
• P(I): es la probabilidad que el paciente sea irresponsable pues no cumple con la cuarentena

En este caso, debemos usar previamente el teorema de la probabilidad total, el cual establece[2]:

P(A) = ∑ P (B_i)(A|B_i)

En nuestro caso, este teorema nos queda:

P(A)= P(R)* P(A/R) + P(MR) * P(A/MR) + P(I)* P(A/I)

Donde:

• P(A/R): es la probabilidad que un paciente está infectado dado que sea responsable pues cumple con la cuarentena
• P(A/MR): es la probabilidad que un paciente está infectado dado que sea medianamente responsable con la cuarentena
• P(A/I): es la probabilidad que un paciente está infectado dado que sea irresponsable con la cuarentena

Reemplazando:

P(A)= (0,2*0,1)+(0.3*0,6)+(0,5*0,8) = 0,6 

Así, la probabilidad que un paciente al azar esté infectado es del 60% bajo estas condiciones. Ahora bien ¿cuál es la probabilidad que no haya respetado la cuarentena dado que ya está infectado? Como vemos, aquí hay una probabilidad condicional que estaría dada en nuestro caso por P(A/I). En este punto es donde Bayes hace su aparición con la siguiente expresión:

P(B/A) =P(B)(A/B) ÷ P(A)

Para nuestro caso, reemplazamos con:

P(I/A) = (0,5*0,8) ÷ 0,6 

P(I/A) = 0.666

Con lo anterior, podemos establecer que la probabilidad que no haya respetado la cuarentena dado que ya está infectado es aproximadamente un 66,6%. De manera análoga, podríamos establecer que:

P(R/A) = 0.0333

y

P(MR/A) = 0.3

Bajo las anteriores condiciones, se podría concluir que es muy importante respetar la cuarentena rigurosamente. Debido que la probabilidad de infectarse respetando la cuarentena es solo el 3,3%. En el caso de que haya respetado medianamente la cuarentena, nos encontramos con un valor mucho mayor de probabilidad de infección que asciende al 30%. Por último, en el caso de que no se haya respetado la cuarentena el riesgo de infección supera el 60%.

Quiero finalizar con una reflexión: teniendo en cuenta que a la fecha de publicación de esta entrada aún no hay certeza de la obtención de una vacuna contra el Covid-19 a corto plazo, ¿estamos realmente preparados para abrir de manera paulatina ciertos sectores productivos? Desde mi punto de vista, lo anterior significa que estaríamos asumiendo la cuarentena de manera medianamente responsable: P(MR).

[1]  DW. De Argentina a México: ¿dónde se respeta más la cuarentena? Disponible en: https://www.semana.com/mundo/articulo/coronavirus-en-latinoamerica-donde-se-respeta-mas-la-cuarentena/666809

[2] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2007). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (No. TA340. P76 2007.). México: Pearson Educación.

Gustavo Andrés Campos Avendaño

Director de investigaciones

Facultad de Matemáticas e Ingenierías