El sutil arte de la conjetura matemática
Publicado: el 13 mayo, 2019 por AdminKonrad / Konrad Lorenz
El alpinismo es una metáfora muy estimada para la investigación matemática. La comparación es casi inevitable: el mundo helado, el aire frío y la implacable dureza del montañismo reflejan el paisaje implacable de números, fórmulas y teoremas. Y así como un escalador enfrenta sus habilidades contra un objeto inflexible -en su caso, una pared de piedra- un matemático a menudo se encuentra involucrado en una batalla individual de la mente humana contra la lógica rígida.
En matemáticas, el papel de estos picos más altos lo juegan las grandes conjeturas -afirmaciones claramente formuladas que probablemente son verdaderas, pero para las cuales aún no se han encontrado pruebas concluyentes. Estas conjeturas tienen raíces profundas y amplias ramificaciones. La búsqueda de su solución guía una gran parte de las matemáticas. La fama eterna espera a los primeros que las conquisten.
Sorprendentemente, las matemáticas han elevado la formulación de una conjetura a un alto nivel de arte. La ciencia más rigurosa aprecia las formas más suaves. Una declaración bien escogida pero no probada puede hacer que su autor sea mundial mente famoso, a veces incluso más que la persona que proporciona la prueba definitiva. La conjetura de Poincaré sigue siendo la conjetura de Poincaré, incluso después de que Grigori Perelman demostrara que es verdad. Después de todo, Sir George Everest, el agrimensor general británico de la India a principios del siglo XIX, nunca escaló la montaña que hoy lleva su nombre.
Como toda forma de arte, una gran conjetura debe cumplir una serie de criterios estrictos. En primer lugar, debe ser “no trivial”, es decir, no demasiado fácil de probar. Los matemáticos dirán cosas como “Un problema vale la pena abordarlo sólo cuando se defiende” y “Si no es frustrante, probablemente estás trabajando en un problema que es demasiado fácil”. Si una conjetura se prueba dentro de unos meses, entonces quizás su creador debería haberla meditado un poco más antes de anunciarla al mundo.
El primer esfuerzo para componer una colección completa de los mayores desafíos matemáticos fue realizado a finales del siglo pasado por David Hilbert, quien ha sido caracterizado como el último matemático universal. Aunque su lista de 23 problemas ha sido muy influyente, en retrospectiva fue un poco confusa.
Incluía favoritos de todos los tiempos como la hipótesis de Riemann, considerada a menudo como la más grande de las grandes conjeturas, una que ha permanecido como el Everest de las matemáticas durante más de un siglo. Cuando se le preguntó a Hilbert qué sería lo primero que le gustaría saber después de despertar de un sueño de 500 años, inmediatamente escogió esta conjetura. Capta una intuición esencial sobre la distribución de los números primos -los átomos de la aritmética- y su establecimiento tendrá vastas consecuencias para muchas ramas de las matemáticas.
Pero Hilbert también enumeró objetivos mucho más vagos y abiertos como “el tratamiento matemático de los axiomas de la física” y “el desarrollo ulterior del cálculo de las variaciones”. Otra de sus conjeturas, la relativa a la relación de dos poliedros de igual volumen, fue resuelta en el mismo año que la anunció por su alumno Max Dehn. Mientras que Hilbert describió muchos picos altos, este resultó ser más bien una colina.
Las cumbres más altas no se conquistan en un solo esfuerzo. Las expediciones de escalada establecen cuidadosamente los campamentos base y fijan las cuerdas, y luego se dirigen lentamente hacia la cima. Del mismo modo, en matemáticas a menudo es necesario erigir estructuras elaboradas para atacar un problema importante. Un asalto directo es visto como tontería e ingenuidad. Estas construcciones matemáticas auxiliares pueden a veces tardar siglos en construirse y, al final, a menudo resultan ser más valiosas que el propio teorema conquistado. El andamio se convierte entonces en una adición permanente a la arquitectura de las matemáticas.
Un ejemplo maravilloso de este fenómeno es la prueba del Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles en 1994. Fermat escribió su conjetura en el margen de la Aritmética de Diofantus en 1639. Su prueba requirió el desarrollo de más de tres siglos de herramientas matemáticas. En particular, los matemáticos tuvieron que construir una combinación muy avanzada de teoría de números y geometría. Este nuevo campo -la geometría aritmética- es ahora una de las teorías matemáticas más profundas y de mayor alcance. Va mucho más allá de la conjetura de Fermat y se ha utilizado para resolver muchas cuestiones pendientes.
Una gran conjetura también tiene que ser profunda y estar en el centro mismo de las matemáticas. De hecho, la metáfora de escalar una cumbre no capta adecuadamente el impacto total de una prueba. Una vez probada la conjetura, no es tanto el punto final de un arduo viaje como el punto de partida de una aventura aún mayor. Una imagen mucho más precisa es la de un paso de montaña, el punto de silla de montar que permite atravesar de un valle a otro. De hecho, esto es lo que hace que la hipótesis de Riemann sea tan poderosa y amada. Desbloquea muchos otros teoremas e ideas, y sugiere amplias generalizaciones. Los matemáticos han estado ocupados explorando el exuberante valle al que da acceso, a pesar de que ese valle sigue siendo, estrictamente hablando, hipotético.
Además, debe haber pruebas sustanciales para una conjetura. Es famoso el hecho de que Niels Bohr definió una gran verdad por la propiedad de que su opuesto es también una gran verdad. Pero este no es el caso para una gran conjetura. Ya que generalmente hay mucha evidencia circunstancial que apunta a su verdad, la negación es vista como muy improbable. Por ejemplo, los primeros 10 billones de casos de la hipótesis de Riemann han sido comprobados numéricamente utilizando ordenadores. ¿Quién, en este momento, puede dudar de su validez? Pero todo este material de apoyo no satisface a los matemáticos. Exigen certeza absoluta y quieren saber por qué la conjetura es cierta. Sólo una prueba concluyente puede dar esa respuesta. La experiencia demuestra que uno puede ser fácilmente engañado. Los contraejemplos pueden estar lejos de la orilla, como el que encontró Noam Elkies, un matemático de la Universidad de Harvard, refutando la conjetura de Euler, una variación de la conjetura de Fermat que afirma que una cuarta potencia nunca puede ser escrita como una suma de otras tres cuartas potencias. ¿Quién habría adivinado que el primer contraejemplo implicaba un número de 30 dígitos? (20,615,6734 = 2,682,4404 + 15,365,6394 + 18,796,7604).
Las mejores conjeturas suelen tener orígenes modestos, como la nota casual de Fermat en el margen, pero sus implicaciones y ramificaciones crecen con los años. También ayuda si el desafío se puede plantear de manera concisa, preferiblemente con una fórmula que contenga sólo unos pocos símbolos. Una buena conjetura debe caber en una camiseta. La conjetura de Goldbach, por ejemplo, dice: “Cada entero mayor a 2 puede ser expresado como la suma de dos primos.” Este problema, formulado en 1742, sigue sin resolverse. Se hizo famoso gracias a la novela El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach (2000), del autor griego Apostolos Doxiadis, entre otras cosas porque el editor ofreció un millón de dólares como un truco publicitario a cualquiera que pudiera probarlo en los dos años siguientes a la publicación del libro. La concisión de una gran conjetura se suma a su belleza percibida. Incluso se podría definir la estética matemática como “impacto por cada símbolo”. Sin embargo, esta belleza elegante puede ser engañosa. Las declaraciones más cortas pueden requerir las pruebas más largas, como lo demuestra una vez más la observación engañosamente simple de Fermat.
Quizás deberíamos añadir a esta lista de criterios la respuesta del famoso matemático John Conway a la pregunta de qué es lo que hace una gran conjetura: “Debería ser escandalosa.” Una conjetura atractiva es también algo ridícula o fantástica, con un alcance y consecuencias imprevistas. Idealmente, combina componentes de dominios lejanos que no se han conocido antes en una sola frase, como los sorprendentes ingredientes de un plato de autor.
Finalmente, es bueno darse cuenta de que la aventura no siempre termina con éxito. Así como un montañista puede enfrentarse a una grieta insuperable, los matemáticos también pueden fracasar. Y si fracasan, fracasan absolutamente. No existe tal cosa como una prueba al 99 por ciento. Durante dos milenios, se intentó demostrar que el quinto postulado de Euclides -el notorio “postulado de las paralelas” que afirma aproximadamente que dos líneas paralelas no pueden cruzarse- puede derivarse de los otros cuatro axiomas de la geometría planar. Luego, a principios del siglo XIX, los matemáticos construyeron ejemplos explícitos de geometría no euclidiana, refutando la conjetura.
Sin embargo, este no fue el fin de la geometría. De manera perversa, la refutación de una gran conjetura puede ser incluso mejor noticia que su éxito, ya que el fracaso deja claro que nuestro imaginario mapa del mundo matemático está seriamente equivocado. La derrota puede ser productiva, al revés de una victoria pírrica. La geometría no euclídea demostró ser un precursor importante del espacio-tiempo curvo de Einstein, que desempeña un papel muy importante en la comprensión moderna de la gravedad y el cosmos.
Del mismo modo, cuando Kurt Gödel publicó su famoso teorema de incompletitud en 1931, mostrando que en cualquier sistema matemático razonable hay afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas, esencialmente respondió negativamente los problemas de Hilbert sobre la consistencia de la aritmética. Pero el teorema de incompletitud -a menudo visto como el mayor logro lógico desde Aristóteles- no anunció el fin de la lógica matemática. En su lugar, indujo un florecimiento que incluso condujo al desarrollo de ordenadores modernos.
Así que, al final, la búsqueda de soluciones a las grandes conjeturas tiene algo más en común con las expediciones de escalada a los picos más altos. Sólo cuando todo el mundo está a salvo en casa, tanto si se alcanza el objetivo como si no, queda claro el alcance total de la aventura. En ese momento, es hora de que se cuenten las historias heroicas de la ascensión.
Esta es una traducción hecha por mí del texto escrito por Robbert Dijkgraaf en Quanta Magazine el 7 de mayo de 2019. https://www.quantamagazine.org/the-subtle-art-of-the-mathematical-conjecture-20190507/
Robbert Dijkgraaf es director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey.
Traducción
Carlos Díez Fonnegra
Decano Facultad de Matemáticas e Ingenierías
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
