FAQ sobre números primso (y perfectos)
Publicado: el 1 febrero, 2016 por AdminKonrad / Konrad Lorenz
Las FAQ o Frequently Asking Questions son aspectos en los que las personas tienen dudas normalmente al usar un servicio o un producto, por lo tanto tienen un espacio especial en la documentación, con el fin de que los usuarios puedan leer las respuestas a dichas preguntas antes de hacer uso del mencionado servicio o producto.
En esta entrada me gustaría responder algunas FAQ sobre números primos y una que otra sobre números perfectos, aprovechando la coyuntura de que recientemente se ha descubierto el mayor número primo de Mersenne (hasta ahora)
¿Qué es un número primo?
Se llama número primo a todo número natural mayor que uno que admite únicamente dos divisores diferentes: el mismo número y el 1. A diferencia de los números primos, los números compuestos son números naturales que pueden factorizarse en otros factores diferentes. Por ejemplo, el número 15 no es un número primo, pues es posible dividirlo entre 1, 3, 5 y 15. En cambio al número 23 sólo es posible dividirlo de manera exacta por 1 y por el mismo 23, por lo que se denomina un número primo.
* También se puede pensar en números primos en los números enteros… pero esa es otra historia.
2. ¿Por qué se llaman primos este tipo de números?
Se les llaman primos, no porque sean hijos del hermano de nadie, sino porque en latín la palabra primus significa “el primero”, y los números primos son considerados los fundamentales (los primeros) a partir de los cuales se obtienen los demás a través de la multiplicación.
3. ¿Qué dice el teorema fundamental de la aritmética y qué tiene que ver con los números primos?
El teorema fundamental de la aritmética (también llamado teorema de factorización única) expresa que cualquier entero positivo que no sea primo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Esto refuerza la respuesta a la pregunta anterior: gracias a este teorema los números primos obtienen su naturaleza de “primeros”.
Ampliando esto, se sabe que dado un número entero positivo, o este es primo o se puede componer como producto de números primos. Por ejemplo, el número 26 no es un número primo porque es el producto entre dos números primos: el 2 y el 13. Lo más interesante de este teorema es que la descomposición de cada número compuesto es única, es decir, el 26 de nuestro ejemplo sólo puede escribirse (salvo el orden) como producto de esos dos números primos.
4. ¿Cuántos números primos hay?
Si los números enteros positivos son infinitos, cabría esperar que se necesitaran infinitos números primos para poder construirlos… y es cierto, ya se ha probado de diversas formas que hay infinitos números primos.
Una de las pruebas, muy bonita por cierto, de la infinitud de los números primos la dio Euclides en su famoso libro “Elementos” por allá en el 300 a. C. Les dejo un enlace a un video que muestra con claridad esta demostración:
¿Qué utilidad tienen los números primos?
Para los matemáticos, los números primos son la base de la teoría de números; ya vimos cómo el teorema fundamental de la aritmética se basa en los números primos y además muchos teoremas del álgebra moderna se refieren a las estructuras de grupos y anillos que están basados en los números primos.
Si se piensa en usos menos abstractos de los números primos, tenemos que mencionar la seguridad informática, que se basa en la propiedad que tienen los números primos de ser fáciles de multiplicar, pero muy difícil volver a factorizarlos si no se conocen los primos originales. Para que lo compruebes, multiplica 47 por 31 y luego pídele a un amigo que descomponga el resultado en números primos… verás el tiempo que se demora. Para que esto sea más claro aun, comparto este video en el que explican el sistema de clave pública y privada que está basado en los números primos:
FaltaVideo
* Por cierto, estos no son las únicas utilidades de estos números. Dejo al lector la búsqueda de otras.
. ¿Qué es un número primo de Mersenne?
Dentro de los números primos hay un subconjunto llamado primos de Mersenne. Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, es un número que se construye de la forma Mn=2^n – 1 , siendo un número primo. Esta forma de generar números no garantiza que se generan todos los números primos ni que todos los números que se generen son primos. Por ejemplo, el número 3 es un primo de Mersenne porque M2=2^2-1=3, de hecho es el primer primo de Mersenne. Sin embargo, el número 5 es primo pero no es un número de Mersenne.
7. ¿Quién está buscando números primos de Mersenne?
La iniciativa GIMPS, que significa Great Internet Mersenne Prime Search (o en español, Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por internet), que llevaba ya 4 años sin presentar noticias y que ahora ha descubierto el número primo de Mersenne 274207281-1, que es el mayor hallado a la fecha.
Esta iniciativa es un proyecto colaborativo de voluntarios que utilizan los programas gratuitos Prime95 y MPrime con el fin de buscar números primos de Mersenne. George Woltman ha fundado el proyecto y escrito los programas que se encargan de analizar números de Mersenne. Scott Kurowski ha programado el servidor PrimeNet que sostiene la investigación[1].
Hasta la fecha de enero de 2016 se han descubierto 49 números primos de Mersenne, siendo el último el número 274207281-1.
8. ¿Hay otras formas para generar números primos?
Aunque no hay (aun) una fórmula que genere todos los números primos, sí existen varias formas de generar algunos números primos especiales. Por ejemplo: El polinomio P(n)=n^2+n+41 produce números primos para todos los enteros no negativos menores que 40.
También es famosa la hipótesis de Riemann que tiene una profunda relación con la distribución de los números primos y que es uno de los problemas del milenio propuesto, primero por Hilbert en 1900 y nuevamente por el Instituto Clay en 2000. Quien la demuestre tiene garantizado un premio de un millón de dólares.
*Hay más formas, estimado lector, no te quedes sólo con estas que te cuento.
9. ¿Qué tiene de especial el número 274207281-1?
Aparte de que es el mayor número primo de Mersenne que se ha descubierto hasta el día de hoy, lo que ya de por sí no es poco, permite construir también el mayor número perfecto conocido hasta hoy, ya que si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Pero para entender esto, hablemos un poco más de lo que es un número perfecto.
Un número perfecto es aquel que coincide con la suma de sus divisores exceptuándolo a él mismo. El 28 es el tercer número perfecto, puesto que los divisores del 28 (sin tomarlo a él mismo) suman: 1+2+4+7+14=28
También se puede decir que un número perfecto es un número que es amigo de sí mismo, pero esta es otra historia.
* Por cierto, no se sabe si los números perfectos son infinitos… Se deja al lector el ejercicio de comprobar esto…
* También al lector se deja buscar cuál es la posición del número 274207281-1 dentro de la sucesión de números perfectos.
10. ¿Qué tan largo es el número 274207281-1?
Muy, pero muy , pero muy largo. Tal vez la mejor forma de comprenderlo es viendo el siguiente video que les comparto:
Falta Video.
* Espero que la respuesta a estas FAQ sobre números primos no sacie su curiosidad, estimado lector, sino que abra un mundo de nuevas preguntas y nuevas búsquedas.
[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search
Artículo escrito por:
CARLOS ALBERTO DIEZ FONNEGRA
Decano Facultad de Matemáticas e Ingenierías
