Historia de los polinomios y el surgimiento del número i

Publicado: el 21 mayo, 2018 por AdminKonrad / Konrad Lorenz

El problema de solucionar ecuaciones algebraicas ha sido trabajado desde los tiempos de las civilizaciones antigüas en Egipto y Babilonia, donde se planteaban solucionar ecuaciones lineales, cuadráticas y relaciones del estilo a² + b² = c². Estos problemas eran planteados con palabras,complicando la búsqueda de una solución. Herón y Diofanto de Alejandría lo llamaron “la ciencia de la restauración y el balance”, dado que el problema consistía en ‘restaurar’ determinados valores tal que el resultado de ciertas operaciones entre estos estuviera ‘balanceado’ (fuera igual) con el de otras operaciones con los mismos valores. Alrededor del año 300 a.C. Euclides desarrolló un enfoque geométrico, reduciendo el problema a encontrar una distancia que satisficiese la ecuación, luego Brahmagupta desarrolla un método en donde se aceptan por primera vez las cantidades negativas y se asignan letras a las cantidades desconocidas. Cabe notar que ninguno de estos personajes pensaba en estos problemas como ecuaciones, debido a la falta de notación.

Para la época medieval los islámicos habían generalizado algunas ecuaciones en forma de binomios, se discutía la importancia  de la variable desconocida X y se utilizaban todos los cálculos aritméticos necesarios para solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas, pero las cúbicas siempre han presentado un nivel de dificultad mucho mayor. El persa Omar Khayyam desarrolló un método geométrico para hallar raíces de algunas ecuaciones cúbicas utilizando cónicas, pero no pudo hallar una forma general  de si quiera expresar un polinomio de grado 3; este trabajo sería realizado por Fibonacci en el siglo XIII, quien llegó a una aproximación (x³ + 2x² + cx = d).Todo esto antes de que se utilizaran los signos “ = ” , “ + ” , “ − ”, que aparecerían a mediados  del siglo XVI.

Pero a inicios del siglo XVI los italianos Tartaglia, Scipone del Ferro y Gerolamo Cardano desarrollarían un método general para hallar raíces de polinomios cúbicos. Entendían la importancia de este problema, pues era uno de gran antigüedad, lo que no sabían era que el camino para llegar a esta solución arrojaba pistas sobre un nuevo tipo de números: los complejos.

El trabajo sobre ecuaciones cúbicas fue motivado por un estudio del siglo XIV, donde se reducía el número de términos y al considerar solamente soluciones positivas el problema se expandía a solucionar 3 casos particulares. Del Ferro fue el primero en resolver el caso [1] y quizá también los otros dos, y al morir reveló las fórmulas para los tres casos a su estudiante Antonio Maria Fiore, quien desafiaría a Tartaglia a un concurso de matemáticas. El día antes del concurso, Tartaglia fue capaz de desarrollar la solución general y ganó, luego se la reveló a Gerolamo quien juró mantenerla en secreto (aunque nunca le mostró la prueba). Se dice que Cardano le robó el crédito a su estudiante Ludovico Ferrari por el trabajo de reconstruir la prueba y la hizo pública en su libro Ars Magna en 1545.

      Pero en el caso [2] se llegaba al conocido como casus irreducibilis, que era cuando se obtenía la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano menciona un problema cuya solución es imposible sin el uso de los complejos, y así es recordado como el primero en publicar sobre estos en la forma de a + √−b. A finales del siglo XVI, Rafael Bombelli escribe la serie de libros l’Algebra, donde discute el casus irreducibilis llamando “pi´u di meno” a √ −1. Hay que tener en cuenta que en la edad media todos  los conceptos matemáticos eran intuitivos, muchos no aceptaban siquiera los números negativos, el concepto de la raíz cuadrada  de un negativo era absurdo.

“Al principio la cosa parece estar más basada en sofismo que en la verdad, pero yo busqué hasta que logré encontrar la prueba”
– Rafael Bombelli

En el siglo XVII, René Descartes publica ‘La Géométrie’, donde da a conocer la conexión entre geometría y álgebra el introdujo así la gráfica de una ecuación polinómica, la regla de los signos para hallar las raíces positiva y negativa de una ecuación y la notación de exponente para denotar multiplicaciones sucesivas; también relaciona a los números imaginarios con lo geométricamente imposible y populariza los nombres “números imaginarios”, también llamados “imposibles”.

“Para cualquier ecuación uno puede imaginarse un número de raíces igual (a su grado), pero en muchos casos no existe una cantidad correspondiente a lo que uno se imagina” – René Descartes

Mas adelante Wallis establece una interpretación geométrica para los números negativos introduciendo la recta numérica y da los primeros pasos hacia el desarrollo del plano complejo.Por otro lado, Abraham de Moivre se muda a Londres donde conoce a Newton y escribe que este

utilizaba una versión de la fórmula de Moivre en el casus irreducibilis. A pesar de su utilidad, casi ningún matemático se tomaba a estos números en serio, pero esta situación fue cambiando con la llegada de Leonhard Euler.

   Supongamos que i  = √ −1, entonces

                   i ² = −1

                    √ −1√ −1 = −1

             y por propiedades de la radicación obtenemos

     √(−1)² = −1  → 1 = −1

Lo cual es una contradicción y una de las razones por las que estos números eran vistos solamente como un truco para deducir ciertos resultados. Pero en el siglo XVIII, Euler introduce la notación i tal que i² = −1, evitando este tipo de problemas; ´el fue el primero en utilizar la fórmula x + iy =  r[cos(θ) + isin(θ)], en visualizar las raíces de la unidad  como vértices de un polígono regular y demostró la fórmula de Euler.

En 1797 Caspar Wessel publica una representación de los complejos en forma vectorial, la cual no sería reconocida sino hasta 1897 por otro matemático de Dinamarca llamado Sophus Christian Juel. En 1831 William Rowan Hamilton da una definición algebraica de los complejos como parejas ordenadas de números reales con suma y multiplicación, así sementando las bases del análisis complejo. Hay evidencia indicando que Carl Friedrich Gauss había desarrollado esta interpretación alrededor de 1796 pero no la publicó sino hasta el añoo 1831. Gauss fue el primero en introducir el nombre de números ‘complejos’ y en 1811 le escribe una carta a Bessel en la que incluye el teorema
de Cauchy, que fue publicado por primera vez al ser redescubierto por Cauchy y Weierstrass.

“Si este tema ha sido considerado desde un punto de vista equivocado y por lo tanto ha estado rodeado de misterio y      oscuridad, la culpa es en gran parte de una terminología inadecuada. Si +1, −1 y √ −1, en lugar de llamarse unidad    positiva, negativa e imaginaria (o peor aun, imposible), se hubieran llamado unidad directa, inversa y lateral,difícilmente hubiera habido el mismo espacio para tal oscuridad.”

-Carl Friedrich Gauss

En 1814 Augustin-Louis Cauchy inicia la teoría de funciones complejas, donde se encuentran conceptos de funciones    analíticas e integrales de contorno en una memoria publicada en 1825, y antes de esto Poisson había publicado un    trabajo en el cual se realizan integrales por caminos que no se encuentran sobre la recta real.

A pesar de la controversia que rodeó a estos números durante tantos años, los complejos han llegado a ser aceptados por la gran mayoría de la comunidad matemática, como también han mostrado ser de gran utilidad tanto en el ámbito teórico como en el práctico, por ejemplo para estudiar funciones vectoriales, resolver integrales definidas que no tienen primitiva y definir transformadas que sirven para resolver ecuaciones diferenciales con aplicaciones en física e ingeniería (por ejemplo en ondas). También es imposible estudiar a los polinomios a fondo sin encontrarse con los números complejos, siendo estos la base del teorema fundamental del álgebra.

Bibliografía

1. Merino, O. (2006). A Short History of Complex Numbers. Enero, University of Rhode Island.
   Sitio web:http://www.math.uri.edu/ merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexN umbers2006.pdf
2. Smith, D. (1951). History of Mathematics. Nueva York: Dover (p134 – 159).
3. Nahin, P. J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton University Press.
4. Tio Oda, Abril 07, 2017. Rafael.. Bombelli, matem´atico italiano, o “pai” dos n´umeros complexos. Recuperado: http://tiooda.com.br/index.php/cientistas/matematicos/5757-rafael-bombellimatematico-italiano-o-pai-dos-numeros-complexos
5. NNDB, Soylent Communications, (2014). Girolamo Cardano. Recuperado:http://www.nndb.com/people/528/000107207/
6. Ekokultur, Junio 18, 2014. Omar Jayyam Nishabur´ı – POETA SIGLO XII – Omar Khayy´am. Recuperado:http://ekokultur.blogspot.com.co/2014/06/omar-ibn-ibrahim-jayyam-nishaburipoeta.html
7. Valentine O. Oduenyi. AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY. Recuperado:http://www.sapaviva.com/augustin-louis-cauchy/
8. Archive of the BBAW, Mayo 28, 2009. Carl Friedrich Gauß. Recuperado:http://archiv.bbaw. de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/ gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/ZIMM-0001.html
9. Calinger, Ronald (1996). Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727-1741). Historia Mathematica 23 (2): 154-155.
10. . El Juego de Filosofar, Agosto 22, 2010. El amanecer moderno, Ren´e Descartes. Recuperado:http://eljuegodefilosofar.blogspot.com.co/2010/08/el-amanecer-moderno-rene-descartes1596.html

Felipe Vanegas

Estudiante del programa de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria.