La teoría de particiones
Publicado: el 17 septiembre, 2014 por AdminKonrad / Konrad Lorenz
Algunos campos de estudio de las matemáticas parecen, a priori, inútiles. Estos campos refuerzan la idea romántica que tienen las personas no matemáticas sobre los matemáticos: que son personas desocupadas, que estudian temas inútiles, que no dan solución a nada en la realidad. Pero eso no es así; si uno profundiza un poco puede ver excelentes ejemplos de aplicaciones matemáticas concebidas en primera instancia, e incluso de aplicaciones matemáticas que no fueron concebidas como tal inicialmente, pero que luego sirvieron para resolver problemas de la “realidad”. Un espacio donde nos hemos esforzado en hacer notar esto es en el programa de radio: “Es tiempo de matemáticas”. Pero hoy, vamos a hablar de una de esas inutilidades de las matemáticas.
Recorramos este camino como quien bucea. Empecemos en la superficie y vamos profundizando para encontrar verdaderas belleza.
En la superficie de lo que vamos hablar hoy está un campo de las matemáticas de tamaño considerablemente grande llamado matemáticas discretas. Esa es la bahía donde nos vamos a sumergir. Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables. En matemáticas discretas, los matemáticos nos encargamos de estudiar conjuntos como los números naturales o los números enteros que son conjuntos infinitos numerables; pero también estudiamos el conjunto de los números del reloj, es decir los 12 valores que dan las horas en el reloj; este es un conjunto finito numerable. Estos conjuntos se usan en teoría de grafos, en teoría de computación y, por supuesto, en teoría de números, que son campos básicos en las redes de comunicación, el procesamiento de los computadores y la criptografía para garantizar la seguridad de nuestros datos.
Nos empezamos a sumergir y nos encontramos con la teoría de particiones, que es un campo de las matemáticas discretas. Una partición de un entero positivo n es una forma de descomponer n como suma de enteros positivos. Una partición del número 5 es 2+2+1, y otra más es 3+2. Es importante notar acá que al hacer las particiones la suma se hace desde los números mayores hasta los números menores.
Una pregunta natural que surge de la definición de partición, es sobre cuantas particiones tiene un número dado n. Matemáticos de la talla de Hardy y Ramanujan (ya haremos una entrada hablando de estos dos…) trabajaron sobre este problema y llegaron en 1918 a la siguiente conclusión, a la que también llegó Uspensky en 1920. El número aproximado de particiones P que hay para cierto número n está dado por la fórmula asintótica:
Toda una fórmula impresionante para encontrar la cantidad de particiones de un número. Lo interesante es que para hallar una formula como esta, los matemáticos desarrollamos un arsenal gigante de herramientas que no se esperaban encontrar al pensar este tipo de problemas.
Pero compensemos nuestros oídos y sumerjámonos más en este mar. Una forma visual de estudiar las particiones es a través de diagramas. En particular, hoy vamos a bucear por la cueva de los diagramas de Ferrers o de Young.
Un diagrama de Young es un arreglo de casillas situadas por filas haciendo que cada fila tenga una cantidad menor o igual de casillas que la fila anterior. Así, se tiene una sucesión de enteros positivos que tiene las características de una partición. En estos diagramas cada fila es un elemento de la partición y el número completo de cuadros es el valor de n. Veamos un ejemplo de una partición del número 9 en un diagrama de Young.
Pero entremos con cuidado a la cueva sin tocar las paredes para no dañarlas: podemos pensar qué pasa si en un diagrama de Young cambiamos las filas por las columnas. Pues resulta que se genera otra partición del mismo número n, que se llama la partición conjugada. Por ejemplo, esta partición del número 8 (3+2+1+1+1):
Es la conjugada de esta otra partición del mismo número 8 (5+2+1):
Y como los matemáticos tenemos la cualidad de preguntarnos: ¿qué pasaría si…?, Pues preguntémonos ¿qué pasaría si un número tuviera una partición que fuera conjugada de sí misma? ¿Existiría dicho caso? La respuesta es sí. Por ejemplo las particiones siguientes son autoconjugadas para cada uno de los n propuestos:
Nos hemos sumergido, hemos explorado, hemos conocido algunas bellezas de las profundidades matemáticas y ahora es tiempo de volver a la superficie y quedar con el recuerdo de estas bellas especies.
Referencias:
http://es.wikipedia.org/wiki/Partición_%28teor%C3%ADa_de_números%29
http://ztfnews.wordpress.com/2014/08/11/los-diagramas-de-ferrers/
http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_Young#Diagrama_de_Young
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