¡Teorema fundamental! Es fundamental que conozcas estos tres teoremas.
Publicado: el 14 septiembre, 2017 por AdminKonrad / Konrad Lorenz
En matemáticas, un teorema fundamental es una verdad demostrada que siempre va a ser cierta y es vital para su respectivo campo, por eso, no en vano se llama ¡fundamental!
Por eso, en esta entrada vamos a aprender sobre tres teoremas fundamentales de la matemática que debes conocer.
1. Teorema Fundamental de la Aritmética
Recordemos que un número primo es un número que no puede ser divido exactamente por ningún otro número que no sea 1 o el mismo. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Lo que este teorema fundamental nos está garantizando es que todos los números o son primos o pueden ser expresados a través de los números primos de solo una manera. Por ejemplo, el número 10 no es un número primo, pero puede ser escrito como factor de números primos: 10 = 5 x 2. ¡Y la forma de hacer esto es única, no existe ninguna otra factorización de 10 usando números primos!
Este teorema muestra la gran importancia de los famosos números primos, que son los “ladrillos” que construyen a todos los números enteros. Son tan importantes que muchos sistemas de criptografía y seguridad informática usan el hecho de que sólo existe una única forma de representar los números y de que, además, en general, encontrar los factores primos de un número muy grande es una tarea para nada fácil.
2. Teorema fundamental de cálculo
Por un lado, a grandes rasgos, el cálculo diferencial es el estudio de cómo cambia una función instantáneamente cuando la cortamos en pequeños pedazos (el llamado paso al infinitesimal). Geométricamente, la derivada es la pendiente de la curva en determinado punto y tiene aplicaciones en la vida real, tales como conocer la velocidad y la distancia que ha recorrido un móvil en determinado momento.
Por otro lado, encontramos al cálculo integral que se encarga de “juntar” estos pequeños pedazos para saber “cuántos” hay. Geométricamente, la integral es el área debajo de la curva y sirve para, por ejemplo, saber cuál es el volumen de agua en un tanque.
En la actualidad, a los estudiantes nos dan los spoilers de la película al contarnos que el cálculo diferencial y el cálculo integral están estrechamente relacionados y, por eso, tal vez nos parezca “obvio” que la derivación y la integración son operaciones inversas, pero durante siglos la relación del cálculo de áreas geométricas y el cálculo de velocidades no era evidente en lo más mínimo y he ahí la fundamental importancia de este teorema.
3. Teorema fundamental de álgebra
Para hablar de este teorema, repasemos primero lo siguiente:
Un polinomio es una expresión matemática de la siguiente forma:
Donde cada término está compuesto por coeficientes (números constantes) y la variable con su respectivo exponente. El grado de un polinomio es el exponente más grande de esa expresión matemática.
Una raíz es un número para el cual, evaluando a x en ese número, el polinomio es igual a cero.
Por ejemplo, ¿Cuáles son las raíces del siguiente polinomio?
Dado que su mayor exponente es 2, por este teorema sabemos que vamos a encontrar dos raíces. En este caso, son 5 y -5, ya que:
Lo poderoso de este teorema fundamental es que, sin efectuar una sola operación, podemos saber cuántas raíces va a tener un polinomio con tan solo verlo. ¡Increíble! ¿No? Vale la pena resaltar que las raíces pueden no ser números reales, sino números complejos, pero esa es otra historia.
En conclusión, estos tres teoremas fundamentales de la matemática son muy importantes y sirven de base para sus respectivas ramas. Sin embargo, estos no son los únicos teoremas fundamentales que existen en la matemática; tenemos, por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra lineal, el teorema fundamental del análisis vectorial, el teorema fundamental de los homomorfismos, entre otros. Así que siempre hay una oportunidad para seguir aprendiendo.
Viviana Márquez (@vivmarquez)
Estudiante de mateméticas
