¿Y SI NOS DIVERTIMOS CON LAS MATEMÁTICAS? PARTE I

Publicado: el 24 octubre, 2018 por AdminKonrad / Konrad Lorenz

Estoy en proceso de convertirme en un matemático y  probablemente en este instante pienses que mi vida es aburrida porque las matemáticas te lo parecen o porque siempre perdías esta materia en el colegio, pero ¿qué pasa si te digo que no necesariamente la matemática es aburrida? Todo depende de ti y de cómo la veas.

Y si relacionamos las matemáticas con algo que te guste? Siempre he creído que una de las ventajas de las matemáticas es que las podemos relacionar con la mayoría de cosas que tenemos alrededor. ¿Por qué no relacionarlas con un hobbie?

Mi hobbie son los cubos de Rubik, y en este escrito te mostraré como podemos relacionar mi hobbie con las matemáticas. Pero empecemos hablando de este hobbie, el cubo de Rubik fue creado por un profesor húngaro de arquitectura, llamado Erno Rubik, en el año de 1974.

Un cubo de Rubik clásico posee seis colores uniformes (tradicionalmente blanco, rojo, azul, naranja, verde y amarillo). Un mecanismo de ejes permite a cada cara girar independientemente, mezclando así los colores. Para resolver el rompecabezas, cada cara debe volver a quedar en un solo color [1].

Ahora hablaremos de las matemáticas que podemos encontrar en este maravilloso cubo y, para esto, primero que todo notemos que lo podemos relacionar con el seguimiento de un algoritmo.

No especificaré en este documento paso a paso los movimientos que se usan en cada ítem del algoritmo, pero mostraré el algoritmo en un sentido muy general. Antes de enunciar el algoritmo daré algunas aclaraciones sobre este proceso.

Hay que tener en cuenta que en el cubo clásico, que es el que vamos a tratar, a pesar de todos los movimientos que realices siempre van a haber seis piezas fijas: los centros de cada cara. Otra cosa que debemos tener en cuenta es que el cubo de Rubik se arma por capas, en este orden de ideas el cubo 3×3 tiene tres capas.

El algoritmo que se sigue para armar el cubo de Rubik es el siguiente [2]:

1) Escogemos un centro de un color en específico que va a ser nuestra cara superior y por donde empezaremos a armar la primera capa

2) Como sabemos que los centros son fijos, nos guiamos de estos para poder armar una cruz en nuestra capa superior, es decir, organizaremos las aristas de la primera capa.

3) Luego de esto, organizamos sus respectivas esquinas para acabar la primera capa del cubo.

4) Luego, armaremos las aristas de la segunda capa.

5) Posteriormente, armaremos la cruz en la tercera capa.

6) En el paso anterior hicimos la cruz, pero no hicimos que coincidiera con sus respectivos centros. El objetivo en este paso es hacer que coincida la cruz con su centro.

8)Por último, orientamos las esquinas de la tercera capa.

¡Lo lograste, armaste el cubo de Rubik!

Y los algoritmos, ¿qué tienen que ver? El pensamiento algorítmico o la habilidad de definir pasos claros para resolver un problema es crucial en matemáticas. Por ejemplo, cuando estás resolviendo una división, sin darte cuenta, estás usando un algoritmo.

¿No te parece increíble? Toda nuestra vida está rodeada de algoritmos, pasos a seguir, que no se aplican solo a la matemática, sino a nuestra vida entera.

Ahora aumentemos un poco el nivel con esta pregunta: ¿cuántas posiciones posibles puede tener un cubo de Rubik?

Tiene ¡43.252.003.274.489.856.000 combinaciones! (Más de 43 trillones) [1].

Pero, ¿cómo se obtuvo este número? Seguramente, nadie se puso a probar una a una cada combinación. Si este fuera el caso y una persona se hubiera puesto a contarlas una por una, esta persona necesitaría cerca de 1.400 billones de años para conseguir todas las combinaciones, suponiendo que tarda un segundo por giro. Esta opción no es viable y realmente suena agotadora. Hagamos nuestro análisis y tratemos de calcular esta cifra.

Primero, analicemos las esquinas. El cubo tiene 8 esquinas que podemos combinar entre sí de cualquier forma, lo que da lugar a 8! (8! se lee 8 factorial y se calcula    8!=8×7×6×5×4×3×2×1 posibilidades. Además tienen un total de tres posibles orientaciones, por lo tanto, nos daría 3⁸ posibilidades, así:

8! × 3^8=264.539.520

Ahora las aristas. Tenemos un total de 12 aristas que podemos combinar como queramos, lo que da lugar a 12! posibilidades. Además, tienen un total de 2 posibles orientaciones, por lo tanto nos daría 2¹²  posibilidades, así:

12! x 2¹² ₌ 1.961.990.553.600

Juntando esto con las posibilidades de las esquinas tenemos que:

8! × 38 × 12! × 212=519.024.039.293.878.272.000

Pero éste es un número mayor que el que mostramos antes. La razón de esto es que los movimientos del cubo son restringidos; no podemos mover una sola pieza, el hecho de que hagamos un giro, implica que movemos nueve piezas, porque movemos la cara completa. Entonces, la permutación total de vértices y aristas debe ser un número par, lo que elimina la mitad de las posibilidades, así:

Por otra parte, podemos orientar todas las esquinas como queramos salvo una, sin alterar nada más en el cubo, por lo que tenemos que descontar tres de esas posibilidades.

Finalmente, como ocurrió anteriormente, podemos orientar todas las aristas como queramos salvo una, sin alterar nada más en el cubo, por lo que tenemos que descontar dos de estas posibilidades.

8! × 37 × 12! × 210=43.252.003.274.489.856.000

Lo logramos, encontramos la cantidad de combinaciones que tiene el cubo de Rubik.

Hasta este punto hemos hablado de algoritmos y combinaciones, nos falta hablar de la matemática más avanzada, que tiene relación con el Álgebra Abstracta y la Teoría de Grupos [3].

Algo importante de lo que hemos hablado, es que podemos relacionar las matemáticas con nuestros gustos y ver su belleza.

Nos vemos en la próxima entrada para seguir explorando el cubo de Rubik.

REFERENCIAS

[1] PAENZA, A. Matemática para todos. SUDAMERICANA, 2012.

[2] RIDAO FREITAS, I. O., AND VIDAL, S. A. Algoritmos de resolución para el cubo de Rubik, 2005.

[3] ROMERO, R. E. Las matemáticas del cubo de Rubik. In Pensamiento matemático (2013), vol. 3, Universidad Politécnica de Madrid, pp. 97_110.

Juan Sebastián Martínez Conejo

Estudiante del programa de matemáticas

Konrad Lorenz Fundación Universitaria.