20 y más cosas que debería conocer de las matemáticas.

Algunas veces se encuentran pequeñas joyas escondidas, textos cercanos y comprensibles que divulgan resultados matemáticos importantes, pero que están en otro idioma y que, por lo tanto, tienen un limitado alcance en su público.

El texto que les voy a resumir a continuación (traducido al español) lo considero como una de estas joyas. Su título original es “20 Things You Didn’t Know About… Math”, fue escrito por Peter Coy y fue publicado en Discover Magazine en el número de marzo de 2012.

(http://discovermagazine.com/2012/mar/09-things-you-didnt-know-about-math)

Pretendo hacer una traducción resumida, lo que implica de todas maneras una interpretación. Y además esta va a ser una interpretación ampliada con algunas ideas propias que, en todos los casos, irán en letra cursiva. Allá vamos con la primera decena.

20 cosas que usted no sabía sobre las matemáticas

Las ecuaciones que funcionan por razones misteriosas, los patrones escondidos de los números primos y las proposiciones lógicas que no pueden ser verdaderas ni falsas.

1. El puntaje medio de los universitarios en la sección de matemáticas del SAT (un examen muy usado en Estados Unidos para la admisión a las universidades; se podría decir que es el análogo de las pruebas Saber 11 que presentamos en nuestro país, aunque no son del todo equivalentes) en 2011 fue cerca de 510 sobre 800. De esto se puede deducir que hay una gran cantidad de problemas matemáticos no resueltos.

2. El gran matemático del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss, llamaba a la matemática la reina de las ciencias. A su vez, Gauss era llamado el Príncipe de las Matemáticas.

Famosa es la anécdota en la que, siendo un niño, Gauss resuelve rápidamente el problema de sumar los números del 1 al 100, haciendo 50 parejas, cada una con una suma de 101.

3. Si la matemática es una reina, entonces debe ser la Reina Blanca de Alicia en el País de las Maravillas, quien alardeaba que a veces ella había creído hasta seis cosas imposibles antes del desayuno. (No debe sorprender que Lewis Carroll también escribiera sobre geometría algebraica).

El nombre real de Lewis Carroll era Charles Lutwidge Dodgson, un lógico y diácono inglés del siglo XIX, autor de Alicia en el País de las Maravillas, así como de textos de álgebra, geometría, lógica y hasta de matemáticas recreativas.

4. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes son muy usadas para aproximar flujos turbulentos alrededor de aviones y en la circulación sanguínea, pero la matemática que está detrás de estas ecuaciones aun no se comprende.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que involucran la segunda ley de Newton, la conservación de masa y la incompresibilidad. Estas ecuaciones sólo se han podido resolver de manera analítica para algunos casos particulares, de manera que se debe recurrir a métodos numéricos para resolverlas en muchos otros casos; por esa inherente dificultad y por su importancia en muchos campos fueron incluidas en el año 2000 entre los siete problemas del milenio, para cada uno de los cuales el Instituto Clay de Matemáticas asignó un millón de dólares como premio a quien diera solución.

5. Y a veces hasta las partes más raras de las matemáticas pueden ser útiles. Los cuaterniones, desarrollados en 1843 por W. R. Hamilton, fueron considerados bonitos pero inútiles hasta 1985, cuando los científicos de la computación se dieron cuenta de que pueden describir la rotación de objetos tridimensionales, y aplicaron esta propiedad para el renderizado en la animación digital; lo que parece refrendar lo que decía N. Lobachevski: “No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”.

Más sobre el uso de cuarterniones en la rotación de objetos 3D en https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/lin-trans-examples/v/rotation-in-r3-around-the-x-axis

6. Algunos problemas de la matemática están diseñados para confundir, por ejemplo la paradoja del filósofo británico Bertrand Russell, que dice: “el conjunto de todos los conjuntos no es miembro de sí mismo”, lo cual es imposible, porque si no fuera miembro de sí mismo, tendría que ser miembro de sí mismo.

Las paradojas constituyen un capítulo muy especial de la lógica, ya que al ser situaciones que desafían el sentido común e implican una contradicción interna, es imposible determinar si son verdaderas o falsas. Pero las paradojas no son solamente de carácter matemático, para la muestra pueden ver en este enlace (https://insider.pro/es/article/4639/) algunas de otros tipos.

7. Russell estuvo usando un argumento matemático para probar los límites de la lógica (y de la cordura).

La lógica se puede considerar una rama peligrosa de las matemáticas; varios lógicos han perdido su cordura a merced de su estudio. Famoso es el caso de Cantor, quien terminó sus días en sanatorios. Además, a continuación se puede ver el caso de otro lógico, tal vez el mejor de su clase, y su triste fin.

8. Kurt Gödel, el reconocido lógico austriaco, empeoró las cosas cuando en 1931 formuló el primer teorema de incompletitud, en el que decía que cualquier sistema matemático suficientemente poderoso debe contener afirmaciones que son ciertas pero que no se pueden probar. Gödel se dejó morir de hambre en 1978.

Para profundizar en la vida de este lógico víctima de su propia racionalidad, se puede leer el detalladísimo texto de John Dawson: “Gödel y los límites de la lógica” (http://paginaspersonales.deusto.es/abaitua/konzeptu/nlp/godel.htm)

8. Y hay problemas que han sido muy difíciles de resolver. Los matemáticos lucharon por 358 años con el último teorema de Fermat, una notoria nota sin finalizar que el matemático y político del siglo XVII Pierre de Fermat bosquejó en el margen de un libro.

En el margen del libro de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, a propósito de un problema que trataba sobre cómo escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados, Fermat escribió: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.”, y  esto fue una incitación a todos los matemáticos que trabajan en teoría de números, casi imposible de resistir.

9. Para entender lo que Fermat dijo, se puede pensar en la afirmación verdadera que dice que 3² + 4² = 5². Lo que él dijo es que no hay números que cumplan esta afirmación si cambiamos la potencia segunda por una potencia de cualquier grado mayor que dos, es decir: aⁿ + bⁿ = cⁿ, para n>2.

Con respecto al teorema de Fermat, hay en los Simpson (dónde si no…) un capítulo en el que Homero tiene un sueño matemático y en un momento se muestra la afirmación: 1782¹² + 1841¹² = 1922¹². Cuando se hacen los cálculos para confirmar si esta afirmación es cierta, uno podría caer en la tentación de pensar que en efecto lo es, sin embargo el lado izquierdo de la expresión se diferencia del lado derecho más allá de la décima cifra. El lector está invitado a confirmarlo.

10. Finalmente en 1995, el matemático inglés Andrew Wiles probó que Fermat estaba en lo cierto, pero para hacerlo usó matemáticas que Fermat nunca conoció, y escribió una prueba de 109 páginas, en cuya introducción citó a docenas de matemáticos vivos y muertos cuyas ideas le sirvieron para alcanzar esta demostración.

Una prueba de este tipo, sin lugar a dudas, merece un premio. Sin embargo, Wiles no pudo recibir el mayor premio que se da a un matemático en vida, la medalla Fields, porque para su entrega se especifica que quien lo reciba debe ser menor de 40 años, y Wiles tenía más de 40 años cuando presentó esta demostración.

Y estos fueron los primeros 10 datos. Próximamente les compartiré los siguientes 10 datos.

Artículo escrito por:

CARLOS ALBERTO DIEZ FONNEGRA

Decano Facultad de Matemáticas e Ingenierías

Correo: carlosa.diezf@konradlorenz.edu.co