La gran revolución de la geometría algebraica

Al finalizar la primera guerra mundial, Europa se encontraba devastada aún por sus efectos. La pérdida de grandes mentes matemáticas durante la guerra obligó a las universidades a contratar maestros muy jóvenes, que rápidamente notaron que existía una necesidad de renovar los libros de texto y la forma en la que se enseñaban las matemáticas. En Francia, en 1934, un grupo de estos jóvenes encabezados por Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné y André Weil, decidió conformar un grupo para llevar a cabo las reformas necesarias en la educación matemática, y proponer nuevos libros de texto para la enseñanza del cálculo. 

Por la brillantez de sus mentes, estos grandes matemáticos notaron muy pronto que su propósito debía ir mucho más allá, al punto de querer reformar la estructura de las matemáticas, y proponer una nueva fundamentación para ellas a través de la formalización en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Decidieron juntos llamar a esto “Nicolás Bourbaki”, un personaje ficticio que englobaría a todos los autores, y que publicaría bajo su nombre las obras producidas allí. Este titánico trabajo de fundamentación produjo resultados de gran espectacularidad, compilados en su celebrada serie “Éléments de Mathématique”, y atrajo la atención de toda la comunidad matemática.  

En este contexto, aparecerán estudiantes brillantes de estos maestros, entre ellos Alexander Grothendieck y Jean-Pierre Serre, que se unirán al grupo y aportarán su propia visión a esta labor de reestructuración que vivían las matemáticas durante el siglo XX. En concreto, sobre 1958, Alexander Grothendieck percibe la necesidad de darle una nueva forma y estructura a la geometría algebraica (esto es, el estudio de las curvas generadas por los ceros de los polinomios en un campo algebraicamente cerrado), debido a que, en su concepto, esta era demasiado rígida y no permitía capturar toda la información necesaria para resolver problemas.  

Apoyado por Jean Dieudonné, comienza la publicación de la obra “Éléments de géométrie algébrique” (1959-1964), en donde introduce la noción completamente novedosa y revolucionaria de esquema, y propone una nueva fundamentación de la geometría algebraica usando la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos, lo que en su opinión permitiría obtener resultados de mayor generalidad y fortaleza.  

Estas ideas allí planteadas pretenden extender la idea del estudio de los ceros de polinomios en un campo algebraicamente cerrado a cualquier anillo, lo que da un margen de estudio mucho más amplio y extenso a esta clase de geometría, y permite involucrarla con problemas de naturaleza numérica (sobre los números enteros, por ejemplo), lo cual da una perspectiva nunca antes estudiada a problemas en ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes enteros), a la concepción del espacio y al estudio de las superficies, ya que da todo un abanico de posibilidades sobre las cuales ubicar estos objetos, y abriendo una infinidad de preguntas para investigarlos allí.  

Esta visión, que cambió completamente el curso de las matemáticas a mediados del siglo XX, provocó que en la comunidad matemática se iniciara un estudio exhaustivo de estas nuevas ideas, y que grandes matemáticos como David Mumford, Michael Artin, Pierre Deligne y John Tate dedicaran grandes esfuerzos a aportar en esta reorganización que vivieron la geometría y la teoría de números.  

Esta labor (entre muchas otras) le valió a Grothendieck el galardón de la Medalla Fields en 1966 (aunque no asistió a la ceremonia en Moscú por motivos políticos), y permitió que se abrieran distintas líneas de investigación en las matemáticas, lo que condujo a la resolución de problemas históricos como las Conjeturas de Weil, que versaban sobre las ecuaciones en campos finitos, y el Último Teorema de Fermat, que sería probado en 1995 por Andrew Wiles, quien logró usar las ideas de Grothendieck sobre la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil para finalmente demostrar el enigma que había tenido en vilo a los matemáticos durante casi 3 siglos.  

Aún hoy, las ideas revolucionarias de Grothendieck siguen siendo objeto de estudio, y, gracias a su increíble visión e inventiva, tenemos ahora una geometría infinitamente rica en espacios y lugares, donde antes había rigidez y unicidad en el estudio de las curvas sobre los números complejos, lo que sin duda ha sido y será el motor de impulso para nuevos descubrimientos, nuevas perspectivas y nuevas investigaciones en nuestras amadas matemáticas.  

Referencias: 

Cartier, P. (2014). A country known only by name. Inference, 1(1), 1-1. https://doi.org/10.37282/991819.14.6 

Scharlau, W. (2006). Wer ist Alexander Grothendieck?. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 55(8), 930-941 

Tarrio, L. & López, A. (2001). La obra de Alexander Grothendieck,» Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 4: 623-638. 

Zalamea, F. (2019). Grothendieck: Una guía a la obra matemática y filosófica. Editorial Nomos. https://matematicas.unex.es/~navarro/res/zalamea.pdf 

El último teorema de Fermat. Simon Singh. ISBN 958-04-4865-5 

Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. 

«La historia de Nicolas Bourbaki, el matemático que nunca existió». BBC News Mundo.
 

AUTORES: 

RORIGO TORRES MOYA 

JOSE FELIPE SANABRIA 

ADRIANA DUEÑAS RODRIGUEZ 

Estudiantes del Programa de Matemáticas 

18/SEPTIEMBRE/2023